Fractal, a matemática que desenha a natureza, os games e filmes

by William Roberto LS Pereira

Se você acha que a matemática é uma matéria chata, rançosa, que serve apenas para dificultar a avaliação do vestibular, é porque você não teve a chance de presenciar uma utilidade ou aplicação. Todas as ciências exatas, puras e aplicadas, fazem uso intensivo de equações, modelos matemáticos e algoritmos, fazendo da matemática uma ciência essencial e indispensável para o surgimento e desenvolvimento de novas linhas de pesquisa. A matemática dos desenhos fractais é um exemplo e suas extensões são incríveis.

A edificação da Teoria dos Fractais ocorreu com uma ‘brincadeira’ (desculpe, um estudo!) do cientista multidisciplinar Benoit Mandelbrot. Ele estudou o que os matemáticos chamam de Conjunto de Julia, que se refere a uma equação na qual relaciona números naturais com números complexos. Com a ajuda de um computador e aplicando um método matemático chamado de ‘Método Iterativo’ ou ‘Recursividade’, Mandelbrot fixava um determinado parâmetro na equação com um dado valor e inseria um outro valor de entrada. O modelo gerava como resposta um número qualquer entre -2 e 1 no eixo real e entre 1 e -1 no eixo imaginário e tal número gerado era usado novamente para retro-alimentar o modelo. Cada saída do modelo era plotado no gráfico.

A medida que o computador repetia esse procedimentos milhares e milhares de vezes, Mandelbrot notou que os pontos ficavam concentrados em determinadas regiões do plano x-y. A essa convergência de valores ele chamou de ‘atrator fractal’. E além do mais, quando pedia para o computador ampliar alguma região do gráfico, as mesmas formas se repetiam, e repetiam, confirmando o princípio da ‘auto-similaridade invariante por escala’ (jargão técnico aplicada na Teoria dos Fractais). Traduzindo, seria ‘o desenho dentro do desenho dentro do desenho’.

Mandelbrot ficou fascinado (muito provavelmente), pois ele tinha acabado de descobrir que essa equação era capaz de gerar desenhos e publicou seu trabalho em 1981. Não é muito empolgante ler esse trabalho por causa do formalismo matemático necessário no desenvolvimento das pesquisas em matemática pura. Não pensem que eu domino todos aqueles símbolos e axiomas, longe disso! Mas não vamos desanimar por causa desse pequeno detalhe (rs). Ao invés de querer tentar entender esse artigo, vamos fazer uma viagem pelo Mandelbrot Fractal Set Trip To e214 H, que é exatamente o processo iterativo no Conjunto de Julia com uma leve modificação realizada por Mandelbrot, no qual é conhecido hoje como Conjunto de Mandelbrot.

Mandelbrot Fractal Set Trip To e214 HD from teamfresh on Vimeo.

Uma viagem bizarra e psicodélica!

Portanto, processos iterativos gerados computacionalmente em certas equações são capazes de gerar os mais diversos desenhos e formas, mas como obter equações para desenhar objetos naturais?Mandelbrot já tinha descoberto que certos processos iterativos muito simples eram capazes de desenhar formas da natureza, como o Floco de Neve (ou Ilha de Koch), ou objetos geométricos, como o Triângulo de Sierkinspi ou a Esponja de Menger (Fig. 1). Depois de estudar o Conjunto de Julia e lançar o artigo, uma série de trabalhos foi publicado descrevendo outras formas fractais: o Ginger Bread Man, a Ilha de Gosper, o Carpete de Haferman, a Mama de Cleopátra, o Coelho Fractal de Douadys, o Fractal de San Marco, etc., sendo a maioria gerada no Conjunto de Julia.

Um dos processos iterativos capazes de desenhar plantas e árvores é chamado de Sistema de Lindenmayer ou L-System, desenvolvido pelo biólogo e botânico Aristid Lindenmayer em 1968. O Sistema de Lindenmayer foi criado para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de organismos multicelulares simples, e para ilustrar as relações entre células de plantas. Mais tarde, o sistema foi estendido para descrever plantas superiores e estruturas de ramificações mais complexas.

O funcionamento desse sistema gera as mais diversas estruturas ramificantes e funciona sob o mesmo princípio da Recursividade: são 11 parâmetros inseridos no modelo e cada combinação desses valores gera os mais diversos padrões de ramificação (Fig. 2).

Um outro modelo capaz de gerar figuras botânicas é o modelo de Honda, melhorado recentemente por JINASENA & SONNADARA (2013). Esse modelo desenha estruturas ramificantes muito semelhante a árvores naturais, mas cadê as folhas? Trabalho para o pessoal da computação e da matemática resolver. Mas tanto o Sistema de Lindenmayer quanto o modelo de Honda carregam consigo os conceitos fractais gerados por Mandelbrot.

Em 1980 Loren Carpenter apresentou um filme computacional de um vôo sobre uma superfície fractal, conhecido como “Vol Libre” e foi imediatamente contratado pela Pixar.Rapidamente os fractais saíram dos artigos matemáticos e invadiram o mundo da computação gráfica, dos filmes e jogos.

No filme “Toy Story” os diretores usaram fractais para desenvolver folhas, gramas e todas as explosões que puderam ser criadas com uma ilustração 3D fractal. Fractais já foram usados no filme “Jornada nas Estrelas II: a Ira de Khan” para gerar uma paisagem do Planeta Genesis e também no “Retorno do Jedi” para criar uma geografia das luas de Endor.

Jogos de vídeo-game também já tiveram aplicação de fractais, como o Call of Duty, Doom (hehe, joguei muito), Age of Empires, World of Warcraft e outros.

Atualmente uma série de softwares são disponibilizados, gratuitamente ou alugados, a qualquer um que conheça um pouco de computação gráfica, para criar Artes Fractais. Podemos acompanhar pela internet a formação de uma montanha fractal com apenas 6 processos iterativos. O processo de formação desse objeto fractal (que provavelmente é aplicado no “Vol Libre” de Carpenter) é muito rápido é não sobrecarrega a capacidade de armazenamento do computador. Essa agilidade computacional é uma das facilidades que permite que qualquer um tenha acesso a esses programas e existem pessoas que colecionam desenhos fractais e depositam em blogs particulares.

Então experimente fazer uma viajem no ‘Mundo de Mandelbrot’ e no ‘Vol Libre” de Carpenter. Experimente também trocar papel, lápis e tinta por um computador, parâmetros e equações. E você poderá comprovar que a matemática também é arte.

Referências

Sites:

WOLFRAM MATHWORLD. 2013. WEISSTEIN, E. W. “Fractal." From MathWorld--A Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com .

GERANDO UM CONJUNTO DE MONTANHAS FRACTAIS. 2013. http://www536.pair.com/bgw/applets/1.02/MtFractal/MtFractal.html)

MANDELBROT FRACTAL SET TRIP TO e214 H, uma aplicação do Conjunto de Mandelbrot. http://vimeo.com/1908224

 

VOL LIBRE de LOREN CARPENTER. 2013. http://log.ericalba.org/post/152055342/vol-libre-loren-carpenter-now-pixars-chief

 Artigos:

LINDENMAYER, A. 1968. Mathematical models for cellular interaction in development. J. Theoret. Biology, 18: 280-315.

JINASENA, K. D. S. & SONNADARA, D. U. J. 2013. Computer simulation of tree development with random variations and probabilistic growth of branches. J. Natn. Sci. Foundation Sri Lanka, 41(3): 229-235.

MANDELBROT, B. B. 1980. Fractal aspects of the iretation of z→λz(1-z) for complex λ and z. Annals NY Acad. Sci. 357: 249-259.

PRUSINKIEWICZ, P.; HANAN, J.; HAMMEL, M.; MECH, R. 2003. L-systems: from the theory to visual models of plants.

Fonte: http://portalciencia.org/fractal-a-matematica-que-desenha-a-natureza-os-games-e-filmes/