Curiosidades sobre números primos
Número primo
é todo número inteiro maior que 1 que somente é
divisível por si próprio e pela unidade.
Algumas
características:
§
Todos os números primos, exceto o 2,
são números ímpares.
§
Existem mais números primos entre 1
e 100 do que entre 101 e 200.
§
Existem infinitos números primos (uma demonstração foi
feita por Euclides).
§
Os números primos, exceto o número 2, são todos
ímpares e se dividem em duas classes: uma composta de múltiplos de 4 menos 1 (3, 11, 19, etc.) e outra formada de múltiplos de
4 mais 1 (5, 13, 17, etc.). Para números menores que um trilhão há mais primos
da classe “menos 1”. Por métodos teóricos já ficou
demonstrado que para números muito grandes o padrão muda para a classe “mais 1”.
Goldbach conjecturou – o que ainda não foi demonstrado se falso ou
verdadeiro – que qualquer número par superior a 2 é a
soma de dois números primos:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5
12 = 5 + 7 e
assim por diante.
Essa conjectura
foi sugerida por Goldbach numa carta que escreveu a Euler, datada de 7 de junho de
1742. E desde então inúmeros matemáticos tentam demonstrá-la.
A tabela
abaixo indica até que números sucessivamente crescentes a conjectura já foi
confirmada e os respectivos matemáticos, autores das provas. Todavia, uma
demonstração geral, como ocorreu com a do Último Teorema de Fermat,
ainda não foi obtida.
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Número
|
Referência
|
|
1
x 104
|
Desbove, 1885
|
|
1 x 105
|
Pipping, 1938
|
|
1 x 108
|
Stein,
1965
|
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2 x 1010
|
Granville, 1989
|
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4 x 1011
|
Sinisalo, 1993
|
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1 x 1014
|
Deshouillers, 1998
|
|
4 x 1014
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Richstein, 2001
|
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2
x 1016
|
Oliveira e Silva, mar/ 2003
|
|
4
x 1018
|
Oliveira e Silva, out/2003
|
Provas parciais da
Conjectura de Goldbach
Nota-se que
o matemático português Tomás Oliveira e Silva tem perseverado na questão.
Outra
conjectura, a de que existem infinitos números primos gêmeos, também não foi
demonstrada. Números primos gêmeos são números primos cuja diferença é 2, tais como 17 e 19, 41 e 43 ou 59 e 61.
Os números primos vêm intrigando os matemáticos há
muito tempo. Dizem que muitos deles enlouqueceram tentando obter uma fórmula
geral para esses números.
Atualmente, os fatores primos de números monstruosos
são usados como chaves de criptografia. E esses fatores primos, quando
descobertos, são guardados “a sete chaves”, pois fazem parte da segurança
nacional de muitos países.
Vamos tentar explicar isso sucintamente.
Criptografia vem do grego – kryptos significa oculto, envolto; graphos significa escrever. Para podermos
decifrar um código, uma criptografia, é necessária “uma chave criptográfica”. E
quanto mais segura essa chave, mais difícil a quebra
do código. Isso tudo é decorrência da luta intelectual contínua entre criptógrafos (criadores de códigos) e criptoanalistas
(quebradores de códigos).
Depois de muito desenvolvimento nessa área, temos hoje
o que se chama criptografia assimétrica, com a utilização de fatores primos de
números monstruosos.
Por que isso? Porque, quando o número for
tremendamente grande, o processo de fatoração é praticamente impossível.
Por exemplo,
o número (2193 - 1) é um número gigantesco. Os fatores primos desse
número, ou seja, os números primos que multiplicados resultam em (2193
- 1) são:
p = 13.821.503;
q = 61.654.440.233.248.340.616.559;
r = 14.732.265.321.145.317.331.353.282.383.
p x q x r = 2193 - 1
Evidentemente,
esse resultado foi obtido por computador.
Todavia,
para um número da ordem de 10130, um computador comum levaria 50
anos para efetuar a sua fatoração. E para um número da ordem de 10308,
mesmo com os esforços combinados de 100 milhões de computadores, seriam
necessários mais de 1000 anos!
Fatores primos
de números dessa ordem de grandeza são usados na criptografia de transações
bancárias e nos serviços de segurança de vários países. Para quem se interessar
por história da criptografia recomendamos a leitura do Livro dos Códigos,
de Simon Singh.
Os maiores
gênios da criptografia são pessoas desconhecidas, pois, em geral, trabalham em
serviços secretos de seus países.
Martin Gardner, famoso matemático americano, fez um desafio para a
decodificação de um texto cifrado por ele em agosto de 1977, e forneceu para a
chave um número enorme:
N =
114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.
146.612.010.218.296.721.242.362.562.561.842.
935.706.935.245.733.897.830.597.123.563.958.
705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541
Para decifrar o texto seria necessário obter os
fatores primos desse número. E isso só foi conseguido dezessete anos depois,
pelo esforço conjunto de 600 pessoas de várias nacionalidades e com a
utilização de computadores e supercomputadores, em 26 de abril de 1994.
Os fatores de N:
p =
3.490.529.510.847.650.949.147.849.619.903.898.
133.417.764.638.493.387.843.990.820.577
q =
32.769.132.993.266.709.549.961.988.190.834.461.
413.177.642.967.992.942.539.798.288.533
Ou seja, N = p x q
O
texto de Gardner decifrado e traduzido era: “as
palavras mágicas são estruturas sensíveis”.
E, finalmente, como curiosidade,
apresentamos os dez maiores números primos conhecidos (até 06/09/2004).
|
Maiores primos conhecidos
|
Nº de dígitos
|
|
224036583-1
|
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220996011-1
|
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213466917-1
|
|
|
26972593-1
|
|
|
5359.25054502+1
|
1521561
|
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23021377-1
|
|
|
22976221-1
|
|
|
1372930131072+1
|
804474
|
|
1361244131072+1
|
803988
|
|
1176694131072+1
|
795695
|
Os dez maiores primos conhecidos até 06/09/2004
A atualização de novas descobertas está disponível na
Internet, através da busca: “the largest
known primes” ou diretamente na página:
Fonte:http://www.testonline.com.br/curprimos.htm
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