Geometria Não Euclideana

 O estudo da Geometria Não Euclidiana não traz mais aos estudantes do que cansaço, vaidade, arrogância e imbecilidade. O espaço Não Euclidiano é a falsa invenção dos demónios, que prazenteiramente ocupam os pensamentos obscuros dos Não Euclidianos com falsos conhecimentos. Os   Não Euclidianos, tal como os sofistas, parecem não se aperceber de que os seus pensamentos passaram a ser obscurecidos pelos estímulos dos espíritos malignos.

  Matthew Ryan (cit in Stewart, 1996)

No início do séc. XIX, emergiu um ponto de vista audacioso: arquitectar geometrias autoconsistentes que diferissem da de Euclides (325 a.C./265 a.C.), em particular no que diz respeito às rectas paralelas.

Segundo Blanché (1978), as novas teorias alteraram o centro de interesse da geometria especulativa, transportando-o do conteúdo para a estrutura, da verdade extrínseca das proposições isoladas para a coerência interna do sistema total.

Afirmações como esta: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, começavam a ser postas em causa e a merecer alguma atenção.

As ideias principais, destas novas teorias, foram concebidas independentemente por 3 grandes matemáticos:  János Bolyai (1802/1860), Nikolai Lobachevskii (1792/1856) e Gauss (1777/1855).

O pai de János Bolyai, o matemático Farkas Bolyai (1775/1856), amigo de Gauss, também trabalhou o axioma das paralelas de Euclides. Ele próprio aconselhou o filho a não perder tempo com «tão venenoso problema». Mas em 1823, János Bolyai escreveu ao pai contando «as maravilhosas descobertas», dizendo que havia criado um novo universo a partir do nada.

Lobachevskii, em 1826, fez uma palestra sobre as paralelas e, em 1829, publicou um extenso artigo, o primeiro impresso, onde apresentava uma alternativa a Euclides. A crítica chamou-lhe Geometria Imaginária.

Em 1832, János Bolyai publicou o seu trabalho sobre a Geometria Não Euclidiana. Nessa altura, Gauss escreve a Farkas Bolyai dizendo-lhe que também ele já havia chegado a resultados idênticos, mas ainda não os tinha publicado.

A recusa do reconhecimento do trabalho de Bolyai, por parte de Gauss, levou a que Bolyai vivesse na obscuridade matemática. O mérito do seu trabalho foi reconhecido após a sua morte. Também o trabalho de Lobachevskii só foi reconhecido após a sua morte, morrendo cego e na pobreza.

Apesar de haver indícios de que, também Gauss se dedicou ao estudo da Geometria Não Euclidiana, este nunca publicou nenhum dos seus trabalhos com receio da opinião pública.

A descoberta das Geometrias Não Euclidianas libertou os matemáticos dos esquemas rígidos anteriores promovendo o aparecimento de inúmeras Geometrias estranhas. A Geometria Não Euclidiana permaneceu durante várias décadas na penumbra da matemática. A maiorias dos matemáticos, daquela época, ignoravam-na e a Filosofia Kantiana recusava-se a levá-la a sério.

O primeiro grande matemático a reconhecer a sua importância foi Georg Reimann (1826/1866), quando desenvolveu a teoria geral das variedades, em 1854, legitimando, de uma maneira muito clara, não só os vários tipos de Geometrias Não Euclidianas, mas também as chamadas Geometrias Reimannianas.

A aceitação total da Geometria Não Euclediana só se estabeleceu após a morte de Reimann.

Segue-se um exemplo de uma velha charada, que também pode ser resolvida com base na Geometria Não Euclediana: 

Geometria com Urso e sem Urso:

 

Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso.

Qual a Cor do Urso?

 
À primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema:

No entanto, não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva.

Assim a solução está à vista: Andando 10 Km segundo aquelas 3 direcções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Pólo Norte.

  

E o Urso? Como a história decorre no Pólo Norte, só pode ser um Urso Polar e, por isso um urso branco.

Toda a dificuldade em solucionar este problema passa pelo facto de pensarmos na Geometria sobre um plano. Desde o século passado, com o aparecimento da Geometria Não Euclediana, surge uma nova solução para este problema. 

Pensemos então que o caçador está no Pólo Sul e a Terra possui círculos concêntricos, com diferentes comprimentos. Um desses círculos terá 10 Km de comprimento então, qualquer ponto, situado a 10 km para norte desse círculo, satisfará as condições do problema inicial: o caçador anda 10 km para Sul e chega a esse circulo; anda 10 Km para Leste e dá uma volta completa; ao andar 10 Km para Norte volta ao ponto de partida.

Nesta nova solução está a mais o Urso: não existem ursos no Pólo Sul. Mas eles também não têm nada a ver com a Matemática.

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/alice/geometria_ne.htm